그러나 불을 켜고 시간을 둔후 부엌에 들어가면 바퀴의 개수가 줄어들기 때문에 기대 공포는 줄어들게 되는 대신에 그로인하여 시간이 낭비되고, 목이 더 말라지게 되므로 공포가 줄어드는 대신에 효용도 줄어들게된다.
그럼 효용함수를 다음과 같이 만들수있다.
U = u - (B*f(바퀴)/D + D)
여기서 D는 시간에대한 증가함수로 되어있는 시간 할인인자이고 u는 상수로 효용이다. 그러므로 시간이 증가하면 공포가 주는 대신, 시간이 지난만큼 효용이 감소한다.
여기서 분석의 편이를 위해 시간할인인자D를 D= t^2 (t의 제곱) 으로 놓는다. 불을켜고 얼만큼의 시간을 지난후 부엌에 들어가는게 가장 효용이 큰지를 구해본다.
Max U = u - (B*f(바퀴)/D + D)
S.T. D=t^2
위 제약조건이 있는 식을 극대화 시키기 위해 라그랑즈 승수를 취해서 극대화 조건을 구한다.
L= (u-(B*f(바퀴)/D + D) + r(D-t^2) r:라그랑즈 승수
dL/dD = -Bf(바퀴)/D^2 + 1 + r = 0 ....(1)
dL/dr = D-t^2 = 0.....(2)
(1),(2)식에 의해서
D^2=Bf/1+r
t^2=D
t= root(4) Bf/1+r
이라는 최적 타이밍을 얻는다. 즉 바퀴벌레가 발견될 확률(B)과 바퀴벌레로 인하여 느끼는 공포(f)가 클수록 시간을 길게잡은후 부엌에 들어가야 한다는 결론을 얻을수있다. 그러나 4제곱근 안의 값이므로 그 공포가 크거나 발견확율이 높다고 해서 무조건 오래 기다릴 필요는 없을것같다.
참고문헌
장중일, 경제수학입문
김영세, 게임이론
감사를 드립니다.
매달 소독을 해서 바퀴벌레의 수를 줄이는 홍은동 벽산아파트 관리실
어느정도 지저분한 부엌을 마련하여 바퀴벌레의 개체수를 일정수준 유지시켜주는 어머님과 그외 이유를 알고계신 모든 분들께.
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